Как применить преобразование Лапласа к какой либо функции

4 методика:ТерминологияРешение преобразованияРазрывная функцияПрименение свойств преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, которое позволяет превратить дифференциальное уравнение в (как ожидается) более простое алгебраическое уравнение, которое легче решить.

Хотя вы можете пользоваться таблицами преобразования Лапласа, неплохо знать, как самому осуществить это преобразование.

Шаги

1. 1 Определите, нужно ли вам найти одностороннее или двустороннее преобразование Лапласа для функции. Если же вид преобразования Лапласа не указан, можно заключить, что вам нужно найти одностороннее преобразование.
   • Одностороннее преобразование Лапласа определяется так:
   • Двустороннее преобразование Лапласа определяется так:
2. 2Подставьте вашу функцию, f(t), в формулу преобразования Лапласа.

Метод 1 из 4: Терминология

1. 1 "Преобразование Лапласа" - это, в частности, система преобразования соотношений в области временнόго аргумента, в результате чего получают уравнения, в которых в качестве переменной выступает оператор Лапласа 's'. В результате, решение первоначальной задачи сводится к "алгебраическим операциям" в области переменной 's', или переменной Лапласа, вместо временнόй области:[1]
   • " Применение преобразования Лапласа аналогично применению логарифма, с целью упростить некоторые виды математических операций. Вычислив логарифм, мы преобразовываем числа в показатель степени числа 10 или е (для натурального логарифма). В результате этого преобразования, такие математические действия как умножение и деление, заменяются на прибавление и вычитание соответственно". [1]
2. 2 "Подобным образом, применяя преобразование Лапласа к анализу систем, которые могут быть описаны как линейные, обыкновенные дифференциальные уравнения, зависящие от времени, мы преодолеваем некоторые из сложностей, встречающихся при решении таких уравнений во временнόй области", а также:[1]
   • Преобразование Лапласа включает в себя интегрирование от 0 до бесконечности функции времени f(t), полученной в результате умножения f(t) на e -st.
   • f(t) это ваша функция, которая должна быть определена на всем промежутке, где t положительное.
   • s это комплексная переменная, определяемая по формуле: s = a +jω, где j = √(-1), так что вы будете отчасти использовать "мнимые" числа.
     • Символ i (в электротехнике j) представляет √(-1). Поэтому, например, √(-4)=2i. Число i, или 1i, или xi называется чисто мнимым числом.
   • Одно из применений комплексной плоскости известно как s-плоскость. Она используется, чтобы представить корни уравнения, описав поведение системы (характеристического уравнения) графически. Уравнение, как правило, представлено в форме многочлена с параметром 's' преобразования Лапласа, отсюда и название 's' плоскость. [1]
     • Для графического представления комплексных чисел используются диаграммы Аргана, представленные на z-плоскости, где z=x+iy. Z-преобразование может быть использовано так же, как и преобразование Лапласа. В математике, а также при обработке сигналов, Z-преобразование превращает дискретный сигнал во временной области, представляющий собой ряд действительных или комплексных чисел, в образ в области комплексной частоты. Его можно рассматривать как эквивалент преобразованию Лапласа для дискретного времени. Это подобие изучено в теории времени. С помощью билинейного преобразования, комплексная s-плоскость (преобразования Лапласа) отображается в комплексной z-плоскости (z-преобразования).
       • Z = a+ ib, = r e^iθ, a = действительная часть z, b = мнимая часть z, r = модуль z, θ = аргумент z, a и b действительные числа. Хотя это образ (обязательно) нелинейный, он полезен, поскольку отображает всю jΩ ось s-плоскости в единичной окружности z-плоскости; то есть, это и есть ось jΩ в области сходимости преобразования Лапласа.

Метод 2 из 4: Решение преобразования

1. 1 Выполните преобразование Лапласа, используя интегрирование по частям. В зависимости от вашей функции, f(t), вам, возможно, понадобится осуществить интегрирование по частям несколько раз, чтобы найти интеграл полностью. Если вы ищите двустороннее преобразование Лапласа, замените предел 0 на -∞
2. 2 Определите пределы полученного результата. Запишите уравнение, подставив вместо t бесконечность, затем запишите уравнение обратное первому, в этот раз, подставив 0 вместо t. Упростите их насколько возможно, помня о следующих величинах:
3. 3Проверьте правильность вашего ответа, воспользовавшись таблицей преобразований Лапласа.

Метод 3 из 4: Разрывная функция

Разрывная функция может быть записана так:

, где c – константа, a и b могут быть как константами, так и функциями t. Хотя приведенная здесь функция состоит лишь из двух частей, их может быть любое конечное количество.

1. 1Выпишите сумму преобразований Лапласа каждой части разрывной функции, используя указанные пределы вместо обычных 0 и ∞.
2. 2 Найдите преобразование Лапласа как показано выше. Не забудьте использовать правильные пределы вместо 0 и ∞. В этом примере предполагается, что a и b константы, результат был бы гораздо сложнее, если бы они были функциями t
3. 3 Упростите результат насколько это возможно. В этом примере предполагается, что a и b константы, результат был бы гораздо сложнее, если бы они были функциями t

Метод 4 из 4: Применение свойств преобразования Лапласа

1. 1 Попытайтесь получить преобразование Лапласа для функции, если она очень похожа на одну или более других функций, преобразование для которых вам уже известно. Например:
   • Преобразование Лапласа для линейной комбинации функций равняется линейной комбинации преобразований Лапласа этих функций.
   • Преобразование Лапласа для tf(t) равно -F'(s), где F(s) – это преобразование Лапласа для f(t), а F'(s) – его производная (Доказательство [2]).
   • Преобразование Лапласа для f'(t) равняется sF(s)-f(0).
   • Преобразование Лапласа для e^(at)f(t) равняется F(s-a).
   • Преобразованием Лапласа свертки двух функций f и g является произведение преобразований Лапласа этих функций.
2. 2 Используйте разные известные свойства преобразований Лапласа, чтобы получить преобразования Лапласа следуя приведенным выше шагам. Полезно также знать смысл, лежащий в основе каждого свойства.
3. 3 Рассмотрите следующее упрощенное общее утверждение: "Преобразование Лапласа для f(t) равняется функции F переменной s", и напишите:[3]laplace{f(t)} = F(s)
   • Подобным образом, преобразование Лапласа для функции g(t) записывается так: laplace{g(t)} = G(s)

Советы

• Преобразования Лапласа применяются в математике, физике, оптике, электротехнике, технике автоматического управления, обработке сигналов и теории вероятности. Оно было разработано примерно в 1782 году в процессе работы над теорией вероятности. В физике оно используется для анализа линейных систем, таких как электрические схемы, гармонические осцилляторы, оптические приборы и механические системы. [4]