Как раскладывать на множители способом группировки

2 методика:Квадратное уравнение[1]Уравнения с четырьмя членами [3]

Эта статья расскажет вам, как раскладывать уравнения на множители способом группировки. Описанные способы применимы для разложения квадратных уравнений и уравнений с четырьмя членами.

Шаги

Метод 1 из 2: Квадратное уравнение[1][2]

1. 1 Квадратное уравнение имеет вид: ax2 + bx + c
   • Этот метод, как правило, применяется в случаях, когда а > 1, но может применяться и при а = 1.
   • Пример: 2x2 + 9x + 10
2. 2 Перемножьте коэффициенты а и с.
   • Пример: 2x2 + 9x + 10
     • a = 2; c = 10
     • a * c = 2 * 10 = 20
3. 3 Для полученного значения найдите все возможные пары множителей.
   • Пример: множители числа 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
     • Пары множителей: (1, 20), (2, 10), (4, 5).
4. 4 Найдите пару множителей, сумма которых равна коэффициенту b.
   • Если результат произведения а на с отрицательный, то найдите пару множителей, разность которых равна коэффициенту b.
   • Пример: 2x2 + 9x + 10
     • b = 9
     • 1 + 20 = 21 – не подходит.
     • 2 + 10 = 12 – не подходит.
     • 4 + 5 = 9 – подходит.
5. 5 Разбейте член уравнения с коэффициентом b в соответствии с найденными парами множителей. Не забудьте записать правильные знаки (плюс или минус).
   • Обратите внимание, что порядок полученных двух членов значения не имеет – это не скажется на конечном результате.
   • Пример: 2x2 + 9x + 10 = 2x2 + 5x + 4x + 10
6. 6 Сгруппируйте члены уравнения: рассмотрите первые два члена (как пару) и вторые два члена (тоже как пару).
   • Пример: 2x2 + 5x + 4x + 10 = (2x2 + 5x) + (4x + 10)
7. 7 В каждой паре членов уравнения вынесите за скобку общий множитель.
   • Пример: х(2x + 5) + 2(2x + 5)
8. 8 В двух скобках получается одно и то же выражение. Запишите его как есть, а во вторые скобки запишите множители, стоящие за скобками.
   • Пример: (2x + 5)(х + 2)
9. 9 Запишите ответ.
   • Пример: 2x2 + 9x + 10 = (2x + 5)(x + 2)
     • Окончательный ответ: (2x + 5)(х + 2)

Дополнительные примеры

1. 1 Разложите на множители 4x2 - 3x - 10
   • a * c = 4 * -10 = -40
   • Пары множителей числа 40: (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8).
   • Подходящая пара: (5, 8); 5 - 8 = -3
   • 4x2 - 8x + 5x - 10
   • (4x2 - 8x) + (5x - 10)
   • 4x(x - 2) + 5(x - 2)
   • (x - 2)(4x + 5)
2. 2 Разложите на множители: 8x2 + 2x - 3
   • a * c = 8 * -3 = -24
   • Пары множителей числа 24: (1, 24), (2, 12), (4, 6)
   • Подходящая пара: (4, 6); 6 - 4 = 2
   • 8x2 + 6x - 4x - 3
   • (8x2 + 6x) - (4x + 3)
   • 2x(4x + 3) - 1(4x + 3)
   • (4x + 3)(2x - 1)

Метод 2 из 2: Уравнения с четырьмя членами [3][4]

1. 1 Для применения этого метода уравнение должно включать четыре члена.
   • Например, уравнение может иметь такой вид: ax3 + bx2 + cx + d
   • или такой вид:
     • axy + by + cx + d
     • ax2 + bx + cxy + dy
     • ax4 + bx3 + cx2 + dx
     • или аналогичный.
   • Пример: 4x4 + 12x3 + 6x2 + 18x
2. 2 Вынесите за скобки наибольший общий делитель (НОД). НОД – это наибольшее число (выражение), на которое делятся все члены данного уравнения.
   • Если НОД = 1, за скобки ничего не выносите.
   • При вынесении множителя за скобки пишите его в процессе ваших вычислений – он включается в окончательный ответ.
   • Пример: 4x4 + 12x3 + 6x2 + 18x
     • НОД членов этого уравнения равен 2x. Вынесите его за скобки:
     • 2x(2x3 + 6x2 + 3x + 9)
3. 3 Сгруппируйте члены уравнения: рассмотрите первые два члена (как пару) и вторые два члена (тоже как пару).
   • Если первый член второй пары отрицательный, то перед скобками второй пары необходимо поставить знак минус. В этом случае измените знак (в скобках) у второго члена пары на противоположный.
   • Пример: 2x(2x3 + 6x2 + 3x + 9) = 2x[(2x3 + 6x2) + (3x + 9)]
4. 4 Вынесите за скобки НОД (у каждой пары).
   • В этот момент вы, возможно, столкнется с проблемой выбора правильных знаков для второй пары. Посмотрите на знаки перед вторым и четвертым членами.
     • Если оба знака одинаковы (или плюсы, или минусы), то за скобку вынесите положительное число.
     • Если оба знака разные (один минус, а другой плюс), то за скобку вынесите отрицательное число.
   • Пример: 2x[(2x3 + 6x2) + (3x + 9)] = 2x[2x2(x + 3) + 3(x + 3)]
5. 5 В двух скобках получается одно и то же выражение. Запишите его как есть, а во вторые скобки запишите множители, стоящие за скобками.
   • Если выражения в скобках не одинаковые, проверьте ваши вычисления или попробуйте сгруппировать члены исходного уравнения по-другому.
   • Выражения в скобках должны совпадать. В противном случае способ группировки применять нельзя.
   • Пример: 2x[2x2(x + 3) + 3(x + 3)] = 2x[(x + 3)(2x2 + 3)]
6. 6 Запишите ответ.
   • Пример: 4x4 + 12x3 + 6x2 + 18x = 2x(x + 3)(2x2 + 3)
     • Ответ: 2x(x + 3)(2x2 + 3)

Дополнительные примеры

1. 1 Разложите на множители 6x2 + 2xy - 24x - 8y
   • 2[3x2 + xy - 12x - 4y]
   • 2[(3x2 + xy) - (12x + 4y)]
   • 2[x(3x + y) - 4(3x + y)]
   • 2[(3x + y)(x - 4)]
   • 2(3x + y)(x – 4)
2. 2 Разложите на множители x3 - 2x2 + 5x - 10
   • (x3 - 2x2) + (5x - 10)
   • x2(x - 2) + 5(x - 2)
   • (x - 2)(x2 + 5)