Как привести матрицу к треугольному виду

Приведение матрицы к треугольному виду является довольно эффективным приемом, который можно использовать при геометрической интерпретации различных векторов, решении систем линейных уравнений и т.п.

Шаги

1. 1 Треугольная форма матрицы. Говорят, что матрица имеет треугольную форму, если все ее члены ниже главной диагонали равны нулю.
2. 2 Итак, начнем с матрицы произвольного размера. Не задерживайтесь на верхнем ряде, он остается неизменным при последующих действиях. Глядя на первый член каждого последующего ряда, определяйте, на какую величину необходимо умножить верхний ряд, чтобы при его сложении или вычитании с данным нижним рядом на месте первого члена последнего получилось нулевое значение. В примере, изображенном на рисунке, видно, что Ряд 2 - Ряд 1 дает ноль в первом столбце второго ряда, а Ряд 3 - 3*Ряд 1 приносит нулевое значение первого члена третьего ряда.
3. 3 Таким образом, после манипуляций с рядами матрицы в шаге 2, матрица будет выглядеть следующим образом. Как видно, вычтя из третьего ряда второй, Ряд 3 - Ряд 2, мы получим еще один ноль в третьем ряде.
4. 4 В итоге матрица выглядит следующим образом, являясь диагональной (все члены ниже главной диагонали имеют нулевые значения).

Советы

• Полученный результат легко поддается геометрической интерпретации: если весь нижний ряд состоит из нулей, посмотрите на размер вашей матрицы. Если матрица имеет размер 3x3, она соответствует трем векторам в 3-мерном пространстве. В этом случае ряд, полностью состоящий из нулевых значений означает, что данный вектор линейно зависим, так что его можно выразить через другие вектора матрицы, и вектора пересекаются вдоль линии. Если ни в одном ряду нельзя получить полностью нулевые значения, это означает, что вектора являются линейно независимыми, и это означает, что система линейных уравнений либо имеет единственное решение (вектора пересекаются в единственной точке), либо не имеет решений вовсе (вектора не пересекаются).
• Данный метод применим к матрицам любого размера.