Как работа с верхними и нижними границами множеств

2 методика:Изучаем основыНаходим верхние и нижние границы

Множество действительных чисел S, считается ограниченным, если оно конечно, содержит число, большее или равное всем остальным числам в нем, а также число меньшее или равное всем остальным числам. Вам нужно найти верхнюю и нижнюю границы непустого множества действительных чисел? Перейдите к шагу 1.

Шаги

Метод 1 из 2: Изучаем основы

1. 1 Понятие концепции верхней границы. Если множество действительных чисел S включает в себя действительное число A ∈ R и при этом каждое число подмножества S меньше или равно А, то S называется "ограниченным сверху", а A является верхней границей . Математически это выражается следующим образом: ∀x∈S⇒x≤A. . Если множество S не имеет верхней границы, то его называют "неограниченным сверху".
   • Если среди верхних границ множества S существует наименьший член, то это число называется "точная верхняя граница" или "супремум" множества и обозначается как supS.
   • Если множество S имеет по крайней мере одну верхнюю границу, то существует бесконечно много верхних границ, больших, чем это число.
2. 2 Понятие концепции нижней границы. Если множество действительных чисел S включает в себя действительное число B ∈ R и при этом каждое число подмножества S больше или равно B, то S называется "ограниченным снизу", а B является нижней границей . Математически это выражается следующим образом: ∀x∈S ⇒x≥B . Если множество S не имеет нижней границы, то его называют "неограниченным снизу."
   • Если среди нижних границ множества S есть наибольший член, то этот элемент называется "нижняя граница" или "инфимум" множества и обозначается как infS.
   • Если набор S имеет по крайней мере одну нижнюю границу, то существует бесконечно много нижних границ, меньших, чем это число.

Метод 2 из 2: Находим верхние и нижние границы

1. 1 Проверьте, ограничено ли ваше множество сверху. Если для множества действительных чисел S ∃A∈R и при этом ∀x∈S ⇒x≤A, то A является верхней границей S. Другими словами, если существует действительное число A, такое, что любое число, выбранное из множества, меньше или равно ему, то множество действительно ограничено сверху.
   • В приведенном выше примере есть действительное число В, равное -1/4, и любое число из набора будет больше или равно ему. Следовательно, множество ограничено снизу.
2. 2 Проверьте, ограничено ли ваше множество снизу. Если для множества действительных чисел S, ∃B∈R и при этом ∀x∈S⇒x≥B, то B является нижней границей S. Другими словами, если существует действительное число B, такое, что любое число, выбранное из множества, больше или равно ему, то множество действительно ограничено снизу.
   • В приведенном выше примере есть действительное число В, равное -1/4, и любое число из набора будет больше или равно ему. Следовательно, множество ограничено снизу.
3. 3 Определите, имеет ли ваше множество супремум. Если среди верхних границ множества существует наименьшее число, то это число называется супремум и обозначается серверы supS.
   • В приведенном выше примере любое число, большее 1 будет являться верхней границей, но 1 является наименьшей верхней границей. Следовательно, 1 является супремуом вашего множества: supS = 1.
4. 4 Определите, имеет ли ваше множество инфимум. Если среди нижних границ множества существует наибольшее число, то это число называется инфимум и обозначается infS.
   • В приведенном выше примере, любое число, меньшее, чем -1/4 будет являться нижней границей, но -1/4 является наибольшей нижней границей. Следовательно, -1/4 является инфимуом вашего множества: infS = -1/4.
5. 5 Найдите наибольший элемент вашего множества. Число является наибольшим элементом множества S, если a∈S⋀x∈S⇒x≤a. Другими словами, если вы выберете число из множества и любое другое число из этого множества будет меньше или равно ему, то выбранное число является наибольшим элементом множества. Оно также называется "максимум".
   • В приведенном выше примере существует число a, отвечающее этому условию. Это число 1, следовательно, 1 является наибольшим элементом множества.
6. 6 Найдите наименьший элемент вашего множества. Число является наименьшим элементом множества S, если b∈S⋀x∈S⇒x≥b. Другими словами, если вы выберете число из множества и любое другое число из этого множества будет больше или равно ему, то выбранное число является наименьшим элементом множества. Оно также называется "минимум".
   • В приведенном выше примере существует число b, отвечающее этому условию. Это число -1/4, следовательно, -1/4 является наименьшим элементом множества.
7. 7 Обратите внимание на верхнюю и нижнюю границы вашего множества. Наибольшее и наименьшее числа в вашем наборе являются верхней и нижней границами соответственно
   • В приведенном выше примере, у вас есть множество, ограниченное как сверху, так и снизу элементами со значениями 1 и -1/4 соответственно.

Советы

• Максимумы и минимумы также называют "экстремумами".
• Если у множества существуют супремум и инфимум, то они уникальны. Существование супремума и инфимума у непустых множеств, ограниченных соответственно сверху и снизу, обеспечивается аксиомой полноты в R. Данная аксиома утверждает, что каждое непустое множество, ограниченное сверху имеет супремум, и каждое непустое множество, ограниченное снизу, имеет инфимум.
• Обратите внимание, что ваш супремум и инфимум не обязательно должны быть элементами вашего множества. Это одна из причин, по которой вы также должны найти наибольший и наименьший элемент вашего множества.