Как разложить двучлен на множители

4 части:Определение метода разложения двучлена на множителиРазложение на множители двучлена первой степениРазложение разности квадратовРазложение на множители суммы или разности кубов

Двучлен – это алгебраическое выражение с двумя членами, связанными знаком плюс или минус. Один из членов обязательно включает переменную, а другой может включать ее или нет (то есть может быть свободным членом). Разложение двучлена на множители означает нахождение таких членов, которые при перемножении приводят к исходному двучлену. Способ разложения зависит от членов исходного двучлена.

Шаги

Часть 1 из 4: Определение метода разложения двучлена на множители

1. 1 Упорядочите члены. Запись двучлена в виде 16 + 4х является приемлемой; однако, в большинстве случаев члены любых многочленов (включая двучлены) записываются, начиная с члена, содержащего переменную высшего порядка. Таким образом, правильнее записать вышеприведенный двучлен как 4x + 16, а двучлен 27 + x3 как x3 + 27.
2. 2 Один или два члена с переменой. Если оба члена двучлена содержат переменную, то вы должны учесть это. При разложении такого двучлена переменная выносится за скобки.
   • Например, если исходный двучлен имеет вид x2 – 3x, вынесите переменную «х» за скобки: х(х - 3). Если исходный двучлен имеет вид x5 + 60x4, вынесите переменную x4 за скобки: x4 (x+60).
3. 3 Посмотрите на степень переменной. Значение степени определяет метод разложения двучлена на множители.
   • Если степень переменной равна 1, читайте второй раздел этой статьи.
   • Если степень переменной равна 2 или кратна 2 и между членами двучлена стоит знак минус, читайте третий раздел этой статьи.
   • Если степень переменной равна 3 или кратна 3, читайте четвертый раздел этой статьи.

Часть 2 из 4: Разложение на множители двучлена первой степени

1. 1 Найдите наибольший общий делитель (НОД) для коэффициента при переменной и для свободного члена. Коэффициент - это число, стоящее при переменной; свободный член – член, не содержащий переменной. Например, в двучлене 2x + 9 коэффициент равен 2, а свободный член равен 9. Если при переменной коэффициента нет, то он равен 1.
   • Например, для двучлена 2x + 8 НОД = 2. Для двучлена 4x – 16 НОД = 4.
2. 2 Разделите коэффициент и свободный член на НОД и вынесите НОД за скобки.
   • Например, 2x + 8 = 2(х + 4). Например, 4x – 16 = 4(х - 4).
   • Для двучлена, у которого оба члена содержат переменную, выносите за скобку как НОД, так и переменную (низшего порядка). Например, для двучлена 3x3 – 9x НОД = 3, а переменная низшего порядка есть «х». Поэтому за скобку выносим 3x. Таком образом, 3x3 – 9x = 3x(x2 – 3).

Часть 3 из 4: Разложение разности квадратов

1. 1 Проверьте, что коэффициент и свободный член являются полными квадратами. Если степень переменной равна 2 или кратна 2 (x2, x4, x6 и т.д.), удостоверьтесь, что и коэффициент, и свободный член являются полными квадратами (то есть из них можно извлечь квадратный корень).
   • В двучлене (4x2 – 9) 4 является полным квадратом (2*2=4) и 9 является полным квадратом (3*3=9), поэтому этот двучлен можно разложить на множители.
   • В двучлене (4x2 – 7) 4 является полным квадратом (2*2=4), но 7 не является полным квадратом, поэтому этот двучлен нельзя разложить на множители.
   • В двучлене (2x2 – 9) 9 является полным квадратом (3*3=9), но 2 не является полным квадратом, поэтому этот двучлен нельзя разложить на множители.
   • Помните, что если при переменной коэффициента нет, то он равен 1, которая является полным квадратом (1*1=1).
2. 2 Разложите разницу квадратов на множители вида: (ax + b)(ax – b), [1][2][3] где «а» - значение коэффициента (равно квадратному корню из коэффициента исходного двучлена), «b» - значение свободного члена (равно квадратному корню из свободного члена исходного двучлена).
   • Двучлен 4x2 – 9 раскладывается на следующие множители: (2х + 3)(2х - 3).
   • Двучлен x4 – 256 раскладывается на множители дважды. Первое разложение: так как (х^2)^2=х^4 и 16^2=256, то x4 – 256 = (x2 + 16)(x2 – 16).
   • Второе разложение: так как полученный двучлен (x2 – 16) – это разность квадратов, которая раскладывается на (x + 4)(x – 4), то x4 – 256 = (x2 + 16)(x + 4)(x – 4).

Часть 4 из 4: Разложение на множители суммы или разности кубов

1. 1 Проверьте, что коэффициент и свободный член являются полными кубами. Если степень переменной равна 3 или кратна 3 (x3, x6, x9 и т.д.), удостоверьтесь, что и коэффициент, и свободный член являются полными кубами (то есть из них можно извлечь корень третьей степени).
2. 2 Определитесь со знаком между членом с переменной и свободным членом (плюс или минус). От знака зависит способ разложения двучлена.
   • Если свободный член прибавляется к члену с переменной: (ax3 +b3) = (ax + b)(ax2 – abx + b2).[4] Например, x3 + 27 = (x + 3)(x2 - 3x + 9).
   • Если свободный член вычитается из члена с переменной: (ax3 – b3) = (ax – b)(ax2 + abx + b2).[5] Например, x3 - 27 = (x-3)(x2 + 3x + 9).
   • В некоторых случаях полученный трехчлен тоже можно разложить на множители.

Советы

• Переменная в шестой степени (x6) является как идеальным квадратом, так и идеальным кубом. Таким образом, при разложении двучлена с переменной в шестой степени и знаком минус между членами (x6 - 64) вы можете использовать соответствующие формулы как из третьего, так и из четвертого разделов данной статьи. Тем не менее, сначала рекомендуем применить формулу для разложения разности квадратов (тем более что легче распознать полный квадрат, чем полный куб; большинство людей определит 64 как 82, а не как 43).

Предупреждения

• Сумма квадратов может быть разложена на множители с использованием мнимых чисел.