Как разложить многочлен третьей степени на множители
2 методика:Разложение методом группировкиРазложение через свободный член
Эта статья про разложение на множители многочлена третьей степени. Мы расскажем как это сделать с помощью метода группировки и через свободный член.
Шаги
Часть 1 из 2: Разложение методом группировки
 1 Разбейте многочлен на два составляющих многочлена (на две группы). Разложите многочлен на две группы и работайте с каждой из них отдельно.
- Например, возьмем многочлен:" x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Разобьем его на группы (x3 + 3x2) и (- 6x - 18)
 2 Найдите общий множитель в каждой группе.
- Для(x3 + 3x2) общим множителем будет x2
- Для (- 6x - 18), общий множитель -6.
 3 Вынесите общие множители за скобки (упрощение).
- Выносим x2 за скобки первого двучлена и получаем: x2(x + 3).
- Выносим -6 за скобки второго двучлена и получаем: -6(x + 3).
 4 Если в упрощенных группах есть один и тот же многочлен, то можно сложить общие знаменатели и умножить на такой многочлен.
- В нашем случае получим:(x + 3)(x2 - 6).
 5 Найдите решение каждого из полученных двучлена (множителя). Если у вас переменная x2, то помните, что возможен как положительный, так и отрицательный ответ.
- В нашем примере x=-3, и x=√6.
Часть 2 из 2: Разложение через свободный член
 1 Приведите многочлен к виду: aX3+bX2+cX+d.
- Для примера будем рассматривать многочлен: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
 2 Найдите все множители "d".Свободный член "d" – член без переменной "x" (член, не содержащий неизвестного).
- Множители – числа, которые при перемножении дают рассматриваемое число. В нашем случае, множители 10, или "d": 1, 2, 5 и 10.
 3 Найдите один множитель, который является решением многочлена. То есть нужно выбрать множитель, при котором многочлен равен 0, если этот множитель подставить вместо "x".
- Начнем с 1. Подставляя "1" вместо "x", получим:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0
- Решение: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Так как 0 = 0, то x = 1 является корнем исходного многочлена.
 4 Сделаем упрощение. Если x = 1, то можно упростить исходный многочлен без изменения его значения.
- "x = 1" то же самое, что и "x - 1 = 0" or "(x - 1)". Мы просто перенесли 1 в левую часть равенства.
 5 Вынесите корень за скобки начального многочлена. "(x - 1)" – это наш корень многочлена. Попытаемся вынести его за скобки. Работайте с каждым членом многочлена отдельно.
- Можно вынести (x - 1) из x3? Нет. Но можно взять («занять») -x2 из второго члена; и тогда можно вынести наш корень за скобки: x2(x - 1) = x3 - x2.
- Можно вынести (x - 1) из оставшейся части второго члена? Нет. Для этого необходимо взять что-то из третьего члена. Нужно взять 3x из -7x. Это даст: 3x(x - 1) = -3x2 + 3x.
- Так как мы взяли 3x из -7x, то нашим третьим членом будет теперь -10x, а свободным членом 10. Можно вынести корень (х-1)? Да! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Таким образом, мы переделали члены нашего многочлена для того, чтобы вынести (x - 1) за скобки исходного многочлена. Наш переделанный многочлен выглядит следующим образом: x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, но это то же самое, что и x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
 6 Продолжим разлагать многочлены через свободный член. Вынесите (x - 1) из членов, полученных в Шаге 5:
- x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Этот многочлен можно упростить через вынесение (х-1) за общие скобки:(x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0.
- Здесь разложите (x2 - 3x - 10). Это приведет к (x + 2)(x - 5).
 7 Корнями начального многочлена будут корни его разложенного варианта. Вы можете проверить это через прямое подставление каждого корня в исходный многочлен.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 Корнями будут: 1, -2, и 5.
- Подставьте -2 в исходный многочлен: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Подставьте 5 в исходный многочлен: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Советы
- Все кубические многочлены с рациональными действительными корнями можно разложить. Кубические многочлены вида x^3 + x + 1, у которых иррациональные корни, нельзя разложить на многочлены с целыми (рациональными) коэффициентами. Хотя такой многочлен может быть разложен по кубической формуле, он не разлагается как целый многочлен.
- Кубический многочлен является произведением трех многочленов первой степени или произведением одного многочлена первой степени и неразлагаемого многочлена второй степени. В последнем случае - после нахождения многочлена первой степени - используется деление для получения многочлена второй степени.
|
