Как разложить на множители алгебраическое уравнение

3 методика:Разложение на множители чисел и основных алгебраических выраженийРазложение на множители квадратных уравненийРазложение на множители других уравнений

Разложение на множители уравнения – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному уравнению. Разложение на множители является полезным навыком для решения основных алгебраических задач, и становится практически необходимым при работе с квадратными уравнениями и другими многочленами. Разложение на множители используется для упрощения алгебраических уравнений, чтобы облегчить их решение. Разложение на множители может помочь вам исключить определенные возможные ответы быстрее, чем вы это сделаете, решая уравнение вручную.

Шаги

Метод 1 из 3: Разложение на множители чисел и основных алгебраических выражений

1. 1 Разложение на множители чисел. Концепция разложения на множители проста, но на практике разложение на множители может оказаться непростой задачей (если дано сложное уравнение). Поэтому для начала рассмотрим концепцию разложения на множители на примере чисел, продолжим с простыми уравнениями, а затем перейдем к сложным уравнениям. Множители данного числа – это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 12 являются числа: 1, 12, 2, 6, 3, 4, так как 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.
   • Аналогично, вы можете рассматривать множители числа как его делители, то есть числа, на которые делится данное число.
   • Найдите все множители числа 60. Мы часто используем число 60 (например, 60 минут в часе, 60 секунд в минуте и т.д.) и у этого числа довольно большое количество множителей.
     • Множители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.
2. 2 Запомните: члены выражения, содержащие коэффициент (число) и переменную, также могут быть разложены на множители. Для этого найдите множители коэффициента при переменной. Зная, как разложить на множители члены уравнений, можно легко упростить данное уравнение.
   • Например, член 12x может быть записан в виде произведения 12 и х. Вы также можете записать 12x как 3(4x), 2(6x) и т.д., разложив число 12 на наиболее подходящие вам множители.
     • Вы можете раскладывать 12x несколько раз подряд. Другими словами, вы не должны останавливаться на 3(4x) или 2(6x); продолжите разложение: 3(2(2x)) или 2(3(2x)) (очевидно, что 3(4x)=3(2(2x)) и т.д.)
3. 3 Примените распределительное свойство умножения для разложения на множители алгебраических уравнений. Зная, как разложить на множители числа и члены выражения (коэффициенты с переменными), вы можете упростить несложные алгебраические уравнения, найдя общий множитель числа и члена выражения. Обычно для упрощения уравнения необходимо найти наибольший общий делитель (НОД). Такое упрощение возможно благодаря распределительному свойству умножения: для любых чисел а, b, с верно равенство a(b+c) = ab+ac.
   • Пример. Разложите на множители уравнение 12х + 6. Во-первых, найдите НОД 12x и 6. 6 является наибольшим числом, которое делит и 12x, и 6, поэтому вы можете разложить данное уравнение на: 6(2x+1).
   • Этот процесс также верен для уравнений, в которых есть отрицательные и дробные члены. Например, х/2+4 может быть разложено на 1/2(х+8); например, -7x+(-21) может быть разложено на -7(х+3).

Метод 2 из 3: Разложение на множители квадратных уравнений

1. 1 Убедитесь, что уравнение дано в квадратичной форме (ax2 + bx + c = 0). Квадратные уравнения имеют вид: ax2 + bx + c = 0, где а, b, с - числовые коэффициенты отличные от 0. Если вам дано уравнение с одной переменной (х) и в этом уравнении есть один или несколько членов с переменной второго порядка, вы можете перенести все члены уравнения на одну сторону уравнения и приравнять его к нулю.
   • Например, дано уравнение: 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x – 18. Оно может быть преобразовано в уравнение x2 + 6x + 9 = 0, которое является квадратным уравнением.
   • Уравнения с переменной х больших порядков, например, x3, x4 и т.д. не являются квадратными уравнениями. Это кубические уравнения, уравнения четвертого порядка и так далее (только если такие уравнения не могут быть упрощены до квадратных уравнений с переменной х в степени 2).
2. 2 Квадратные уравнения, где а = 1, раскладываются на (x+d)(x+e), где d*е=с и d+е=b. Если данное вам квадратное уравнение имеет вид: x2 + bx + c = 0 (то есть коэффициент при x2 равен 1), то такое уравнение можно (но не гарантированно) разложить на вышеуказанные множители. Для этого нужно найти два числа, которые при перемножении дают «с», а при сложении – «b». Как только вы найдете такие два числа (d и е), подставьте их в следующее выражение: (x+d )(x+e), которое при раскрытии скобок приводит к исходному уравнению.
   • Например, дано квадратное уравнение x2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 и 3+2=5, поэтому вы можете разложить данное уравнение на (х+3)(х+2).
   • В случае отрицательных членов внесите следующие незначительные изменения в процесс разложения на множители:
     • Если квадратное уравнение имеет вид x2-bx+c, то оно раскладывается на: (х-_)(х-_).
     • Если квадратное уравнение имеет вид x2-bx-c, то оно раскладывается на: (х+_)(х-_).
   • Примечание: пробелы могут быть заменены на дроби или десятичные числа. Например, уравнение x2 + (21/2)x + 5 = 0 раскладывается на (х+10)(х+1/2).
3. 3 Разложение на множители методом проб и ошибок. Несложные квадратные уравнения можно разложить на множители, просто подставляя числа в возможные решения до тех пор, пока вы не найдете правильного решения. Если уравнение имеет вид ax2+bx+c, где a>1, возможные решения записываются в виде (dx +/- _)(ex +/- _), где d и е - числовые коэффициенты отличные от нуля, которые при перемножении дают а. Либо d, либо e (или оба коэффициента) могут быть равны 1. Если оба коэффициента равны 1, то воспользуйтесь способом, описанным выше.
   • Например, дано уравнение 3x2 - 8x + 4. Здесь 3 имеет только два множителя (3 и 1), поэтому возможные решения записываются в виде (3x +/- _)(х +/- _). В этом случае, подставив вместо пробелов -2, вы найдете правильный ответ: -2*3x=-6x и -2*х=-2x; - 6x+(-2x)=-8x и -2*-2=4, то есть такое разложение при раскрытии скобок приведет к членам исходного уравнения.
4. 4 Полный квадрат. В некоторых случаях квадратные уравнения могут быть быстро и легко разложены на множители с помощью специальной алгебраической идентичности. Любое квадратное уравнение вида x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. То есть, если в вашем уравнении коэффициент b равен удвоенному квадратному корню из коэффициента c, то ваше уравнение можно разложить на (x + (кВ.корень(c)))2.
   • Например, дано уравнение x2 + 6x + 9. Здесь 32=9 и 3*2=6. Поэтому это уравнение раскладывается на (х+3)(х+3) или (x + 3)2.
5. 5 Используйте разложение на множители для решения квадратных уравнений. Разложив уравнение на множители, вы можете приравнять каждый множитель к нулю и вычислить значение х (под решением уравнения подразумевается нахождение значений х, при которых уравнение рано нулю).
   • Вернемся к уравнению x2 + 5x + 6 = 0. Это уравнение раскладывается на множители (х+3)(х+2)=0. Если один из множителей равен 0, то все уравнение равно 0. Поэтому запишем: (х+3)=0 и (х+2)=0 и найдем х=-3 и х=-2 (соответственно).
6. 6 Проверьте ответ (некоторые ответы могут быть неправильными). Для этого подставьте найденные значения х в исходное уравнение. Иногда при подстановке найденных значений исходное уравнение не равно нулю; это значит, что такие значения х неверные.
   • Например, подставьте х=-2 и х=-3 в x2 + 5x + 6 = 0. Сначала подставим х=-2:
     • (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0. То есть х=-2 - правильный ответ.
   • Теперь подставьте х=-3:
     • (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0. То есть х=-3 - правильный ответ.

Метод 3 из 3: Разложение на множители других уравнений

1. 1 Если дано уравнение вида a2-b2, то оно раскладывается на (a+b)(a-b), где а и b не равны 0.
   • Например: 9x2 - 4y2 = (3x +2y)(3x - 2y)
2. 2 Если дано уравнение вида a2+2ab+b2, то оно раскладывается на (a+b)2. Если дано уравнение вида a2-2ab+b2, то оно раскладывается на: (a-b)2.
   • Уравнение 4x2 + 8xy + 4y2 может быть разложено на: 4x2 + 2*2х*2y + 4y2=(2x+2y)2.
3. 3 Если дано уравнение вида a3-b3, то оно раскладывается на (a-b)(a2+ab+b2). Нужно упомянуть, что кубические уравнения и уравнения более высокого порядка можно разложить на множители, хотя процесс разложения является сложным.
   • Например: 8x3 - 27y3 раскладывается на: (2x - 3y)(4x2 + ((2x)(3y)) + 9y2)

Советы

• a2-b2 можно разложить на множители, a2+b2 нельзя разложить на множители.
• Научитесь раскладывать на множители коэффициенты (числа) - это может помочь при разложении уравнений.
• При разложении на множители аккуратно работайте с дробями.
• Если вам дан трехчлен вида x2+bx+ (b/2)2, то он может быть разложен на: (x+(b/2))2.
• Запомните: a*0 = 0.

Что вам понадобится

• Бумага
• Карандаш
• Учебник алгебры (при необходимости)