Как разложить на множители многочлен

4 методика:Вынесение за скобки общего множителяГруппировкаРазложение на множители квадратных уравненийДополнение до полного квадрата

Многочлен – это алгебраическое выражение с несколькими членами (по крайней мере, один из которых содержит переменную), связанными знаком плюс или минус. Разложение на множители многочлена – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному многочлену.

Шаги

Метод 1 из 4: Вынесение за скобки общего множителя

1. 1 Общий множитель равен наибольшему общему делителю всех членов многочлена. Наибольший общий делитель (НОД) – это наибольшее число (или выражение, или переменная), на которое делятся нацело все члены многочлена.
2. 2 Вынесите за скобки общий множитель. Например, в многочлене ax + bx за скобки можно вынести «х»: x(a + b).

Метод 2 из 4: Группировка

1. 1 В первую очередь попробуйте найти общий множитель. Если он существует, используйте метод разложения, описанный выше.
2. 2 Если общего множителя нет, сгруппируйте определенные члены многочлена. Например, многочлен ax + by + ay + bx можно сгруппировать так: (ax + bx) + (ay + by).
3. 3 После группировки определенных членов многочлена вынесите за скобки их общие множители. В приведенном выше примере: x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y).

Метод 3 из 4: Разложение на множители квадратных уравнений

1. 1 Квадратные уравнения – это многочлены, содержащие переменную второго порядка. Такие уравнения раскладываются или не раскладываются на множители.
2. 2 Квадратное уравнение имеет вид: x2 + bx + c. Существует процедура разложения квадратного уравнения на произведение двух двучленов. При этом необходимо найти два множителя коэффициента «с», сумма которых равна коэффициенту «b».
3. 3 Двучлены записываются следующим образом. Первыми членами двучленов являются множители первого члена многочлена; вторыми членами двучленов являются множители коэффициента «с».
   • Например, дан многочлен 2x2 + x - 6.
   • Сначала рассмотрим первый член многочлена: 2x2. Он раскладывается на два множителя: 2х и х. Поэтому запишите произведение двучленов как: (2x + . . .)(x + . . .)
   • Теперь найдите множители коэффициента с=-6 (они будут использованы в качестве вторых членов двучленов).
   • -6 = (-3) ∙ 2 = (-2) ∙ 3 = (-1) ∙ 6 = (-6) ∙ 1
   • Возможные решения запишутся в виде: (2x - 2) (x - 3), (2x - 3)(x +2), (2x - 1)(x + 6), (2x - 6)(x +1).
4. 4 Так как коэффициент b=1, то верно только одно решение:
   • (2x - 3)(x +2). При перемножении этих двучленов b=1.
   • Таким образом, вы можете разложить данный многочлен на следующие множители: 2x2 + x - 6 = (2x - 3)(x + 2).

Метод 4 из 4: Дополнение до полного квадрата

1. 1 Многочлен можно дополнить до полного квадрата (а затем разложить его на множители), прибавив и отняв некоторый посторонний член. Например, рассмотрим многочлен x2 + 2ax + b.
2. 2 Найдите половину коэффициента у переменной «х». В нашем примере: 2а/2 = а.
3. 3 Прибавьте и вычтите квадрат найденного выше значения. В нашем примере это a2.
4. 4 Дополните многочлен до полного квадрата. В нашем примере: x2 + 2ax + a2 + b - a2 = (x + a)2 + b - a2.