Как разложить на множители трехчлен

4 методика:Квадратные трехчленыОсобые случаи разложения трехчленов на множителиИспользование формулы для решения квадратного уравненияУпрощение до квадратного уравнения

В алгебре трехчлен – это многочлен, содержащий три члена и имеющий вид ax2 + bx + c. Многочлены играют важную роль в математике и науках, и навыки их разложения на множители могут пригодиться во многих областях. Здесь описаны методы разложения трехчленов на множители. Существует несколько определенных сценариев, когда трехчлен может быть разложен на множители. Если ни один из них не срабатывает, то нужно воспользоваться общим методом разложения многочленов высших порядков.

Шаги

Метод 1 из 4: Квадратные трехчлены

1. 1 Расставьте члены многочлена по порядку, начиная с высшего. Основа расстановки – переменная многочлена. Правильный порядок записи трехчлена – от переменной высшего порядка и далее к свободному члену. Таким образом, 5 + x2 + 6x записывается в виде x2 + 6x + 5.
2. 2 Вынесите за скобки общий делитель всех трех членов (если он есть). Если все члены имеют общий делитель, то он может быть вынесен за скобки; или же если у всех членов общая переменная, то она также может быть вынесена за скобки.
   • В трехчлене -8a2 + 24a + 144, 8 - делитель каждого коэффициента, который может быть вынесен за скобки: -8(a2 - 3a - 18). Числа -3 и -18 делят второй и третий коэффициент, но эти числа не делят первый коэффициент, поэтому их нельзя вынести за скобки.
   • В трехчлене -x2 - 2x - 1, соответственно, (-1) - делитель каждого коэффициента, который может быть вынесен за скобки: (-1)(x2 + 2x + 1) или -(x2 + 2x + 1).
3. 3 Ищите общие закономерности, которые облегчат разложение трехчленов на множители. Для получения подробной информации и примеров смотрите раздел «Особые случаи разложения трехчленов на множители».
4. 4 Разложите трехчлен на произведение биномов (mx + n)(qx + r) (если возможно). Этот шаг часто включает в себя метод проб и ошибок, но есть способы упростить его. Предположим, что коэффициент первого члена трехчлена (x2) равен 1 (то есть первый член равен x2, а не 3x2). В этом случае m = q = 1 и разложение на множители имеет вид (х + b) (х + d). Необходимо найти такие значения n и r, при которых n * r = c и n + r = b.
   • В нашем примере x2 + 6x + 5, 5 * 1 = 5 и 5 + 1 = 6. Следовательно, решение: (x + 1)(x + 5).
   • Если не все члены трехчлена положительны, не забудьте учесть отрицательные коэффициенты. Например, x2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3), так как -6 + 3 = -3 и -6 * 3 = -18.
5. 5 Если коэффициент первого члена не равен 1 (то есть 3x2, а не x2), то разложение на множители несколько усложняется: ax2 + bx + c = (mx + n)(qx + r). Необходимо найти такие значения m, q, n и r, при которых m * q = a, m * r + n * q = b, n * r = c.
   • Начните с нахождения всех возможных пар множителей а и с. Затем подставьте их в формулы и найдите нужную пару.
   • Например, 3x2 + 10x + 8. Пара множителей 3: 1 * 3. Пара множителей 8: 1 * 8 и 2 * 4. Так как 3 * 1 = 3 (коэффициент a), 1 * 4 + 2 * 3 = 10 (коэффициент b), 2 * 4 = 8 (коэффициент c), то решение: (3x + 4)(x + 2).

Метод 2 из 4: Особые случаи разложения трехчленов на множители

1. 1 Определите, что коэффициент первого или третьего членов трехчлена – простое число. Простое число – число, делящееся только на 1 и на само себя. Это уменьшит выбор пар множителей. В нашем примере, x2 + 6x + 5, 5 – простое число и есть только одна пара множителей для этого числа: 5 и 1. Разложение трехчлена: (x + 5)(x + 1).
2. 2 Определите, что трехчлен – полный квадрат. Полный квадрат трехчлена ax2 + bx + c – это ситуация, когда из коэффициентов a и c можно извлечь целый квадратный корень, а коэффициент b равен удвоенному произведению квадратных корней из a и c.
   • (x + a)2 = x2 + 2ax + a2. Например, (x + 3)2 = x2 + 6x + 9, и (3x + 2)2 = 9x2 + 12x + 4.
   • Аналогично (x - a)2 = x2 - 2ax + a2. Например, (x - 3)2 = x2 - 6x + 9.
3. 3 Для некоторых квадратных трехчленов вида x2 - n2:
   • (x + a)(x - a) = x2 - a2. Поэтому x2 - 9 = (x + 3)(x - 3), и 4x2 - 4 = (2x + 2)(2x - 2).

Метод 3 из 4: Использование формулы для решения квадратного уравнения

Если квадратный трехчлен сложно или невозможно разложить на множители, используйте формулу для решения квадратного уравнения.

1. 1 Формула:
   
   
2. 2 Подставьте значения a, b, c и найдите корни уравнения. Например, x2 + 5x + 6.
   • Начните с b2 - 4ac. В нашем примере: 52 - 4(1)(6) = 1. √1 = 1.
   • Продолжите решение уравнения. -b + 1 = -5 + 1 = -4. Разделите это значение на 2а (2 * 1 = 2), чтобы получить -2.
3. 3 Найдите другой корень. Вы знаете, что квадратный корень из b2 - 4ac = 1. -b - 1 = -6. Разделите это значение на 2а (2 * 1 = 2), чтобы получить -3.
4. 4 Проверьте корни, подставив их вместо «х». Иногда один или оба корня не являются решениями трехчлена. Но если трехчлен имеет решение, то вы найдете его по этой формуле.
   • Обратите внимание, что если вы разложите этот трехчлен на множители (а не воспользуетесь формулой), то получите (х + 2)(х + 3). Если вы приравняете этот трехчлен к 0, вы получите два решения, х = -2 и х = -3.

Метод 4 из 4: Упрощение до квадратного уравнения

Некоторые трехчлены высших порядков можно упростить до квадратного уравнения (при помощи замены). После этого с ними можно работать как с квадратными уравнениями.

1. 1 Посмотрите на переменные каждого члена. Например, x6 - 7x3 + 12 является трехчленом 6 порядка, но после замены u=x3 оно становится квадратным: u2 - 7u + 12.
   • Этот способ также годится для трехчленов с несколькими разными переменными. Например, x5y - 7x3y2 + 12y3 упрощается до xy3(u2 - 7u + 12) после замены u = x2/y.
2. 2 Если такая замена возможна, разложите на множители упрощенный многочлен; в нашем примере: u2 - 7u + 12 = (u-3)(u-4).
3. 3 Представьте результат, подставив x3 вместо u: x6 - 7x3 + 12 = (x3 - 3)(x3 - 4). Если возможно или требуется, еще раз упростите выражения в скобках.

Советы

• Трехчлены высшего порядка с несколькими переменными могут быть приведены к квадратному уравнению (или даже к линейному уравнению) с одной переменной. Например, 4x3y2 - 5x4 + 15y. Этот трехчлен можно переписать так: (4x3)y2 + 15y - 5x4. Обратите внимание, что теперь трехчлен имеет вид ax2 + bx + c, где a = 4x3, c = 5x4. Такой трехчлен можно решить, используя формулу для решения квадратного уравнения.
• Используйте критерий Эйзенштейна для определения невозможности разложения трехчлена на множители. Этот критерий применим для многочленов любого порядка, но лучше всего работает с трехчленами. Если существует простое число p, которое нацело делит коэффициенты двух последних членов и которое отвечает следующим условиям, то многочлен разложить нельзя.
  • Свободный член (с) делится на р, но не на p2.
  • Коэффициент первого члена (а) не делится на p.
  • Например, многочлен 14x2 + 45x + 51 разложить нельзя, так как простое число 3 делит 45 и 51, но не 14, а 51 не делится на 32.
• Вы можете поупражняться в разложении многочленов на множители, взяв задачи из учебника алгебры.

Предупреждения

• Хотя это и верно для квадратных уравнений, трехчлены не всегда разлагаются на произведение двух биномов. Например: x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2)(x2 - 5x + 23).

Что вам понадобится

• Учебник алгебры
• Бумага и карандаш